Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
34. integral0^pi / 2 integral0^sin x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região de integração da integral dupla e depois mudar a ordem de integração. Isso está dentro do tópico de cálculo integral, especificamente em integrais múltiplas. Vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano e como ajustar os limites de integração quando mudamos a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral está definida com indo de até e, para cada valor de , vai de até . Isso significa que estamos olhando para todos os pontos onde está nesse intervalo e está abaixo da curva .

Passo 3

Vamos esboçar essa região no plano . Desenhe o eixo de a e o eixo de a (já que ). A curva começa em , sobe até . A região de integração é a área abaixo dessa curva e acima do eixo .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. No formato original, percorremos primeiro e depois . Queremos inverter isso: primeiro percorreremos e depois . Para fazer isso, precisamos determinar para um dado , quais valores de correspondem à nossa região.

Passo 5

Para um valor fixo de , começa onde . Resolvendo para , temos . Portanto, para cada entre e , vai de até .

Passo 6

Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^1 integralarcsin y^pi / 2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A mudança da ordem de integração resulta na integral:
integral0^1 integralarcsin y^pi / 2 f(x, y) , dx , dy

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Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
36. integral0^1 integraly^2-y f(x, y) d x d y