Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região de integração da integral dupla
e depois mudar a ordem de integração. Isso está dentro do tópico de cálculo integral, especificamente em integrais múltiplas. Vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano
e como ajustar os limites de integração quando mudamos a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral está definida com
indo de
até
e, para cada valor de
,
vai de
até
. Isso significa que estamos olhando para todos os pontos
onde
está nesse intervalo e
está abaixo da curva
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região no plano
. Desenhe o eixo
de
a
e o eixo
de
a
(já que
). A curva
começa em
, sobe até
. A região de integração é a área abaixo dessa curva e acima do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. No formato original, percorremos
primeiro e depois
. Queremos inverter isso: primeiro percorreremos
e depois
. Para fazer isso, precisamos determinar para um dado
, quais valores de
correspondem à nossa região.
Passo 5
Para um valor fixo de
,
começa onde
. Resolvendo para
, temos
. Portanto, para cada
entre
e
,
vai de
até
.
Passo 6
Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A mudança da ordem de integração resulta na integral:
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Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
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