Calcule os limites abaixo.
(i) lim x +infty raizx-raizx+1raizx+2-raizx+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x +infty raizx - raizx+1raizx+2 - raizx+3
Esse exercício está relacionado a limites, especialmente quando tende ao infinito, e envolve raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar expressões com radicais e usar técnicas de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: raizx - raizx+1 = (raizx - raizx+1)(raizx + raizx+1)raizx + raizx+1 = x - (x+1)raizx + raizx+1 = -1raizx + raizx+1 . Quando cresce muito, a diferença entre e fica pequena. Para facilitar, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pelo conjugado:

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo com o denominador: raizx+2 - raizx+3 = (raizx+2 - raizx+3)(raizx+2 + raizx+3)raizx+2 + raizx+3 = (x+2) - (x+3)raizx+2 + raizx+3 = -1raizx+2 + raizx+3 . Racionalizando:

Passo 4

Agora, substituímos essas racionalizações na expressão original:
raizx - raizx+1raizx+2 - raizx+3 = -1raizx + raizx+1-1raizx+2 + raizx+3 = -1raizx + raizx+1 times raizx+2 + raizx+3-1 = raizx+2 + raizx+3raizx + raizx+1

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa nova expressão. Como raizx+a approx raizx (1 + a2x) tende ao infinito, podemos aproximar as raízes:
raizx+2 approx raizx(1 + 22x) = raizx(1 + 1x)
Aplicando isso:
raizx+3 approx raizx(1 + 32x)
raizx+1 approx raizx(1 + 12x)

Passo 6

Substituindo essas aproximações na expressão:
raizx+2 + raizx+3raizx + raizx+1 approx raizx(1 + 1x) + raizx(1 + 32x)raizx + raizx(1 + 12x) = raizx(2 + 52x)raizx(2 + 12x)

Passo 7

Simplificando 2 + 52x2 + 12x que está no numerador e denominador:
2 + 02 + 0 = 22 = 1
Quando tende ao infinito, as frações com tendem a zero:

Resposta

lim x +infty raizx - raizx+1raizx+2 - raizx+3 = 1

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