Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária . Aqui, o conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , ficando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é e 3 já é uma raiz da equação característica, nossa tentativa inicial seria ajustar nossa solução particular multiplicando por :

Passo 5

Vamos diferenciar para encontrar e :

Passo 6

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Resolva os problemas de valor inicial.
Calcule os limites abaixo.
(i)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.