Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária
. Aqui, o conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
, ficando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
e 3 já é uma raiz da equação característica, nossa tentativa inicial seria ajustar nossa solução particular multiplicando por
:
Passo 5
Vamos diferenciar
para encontrar
e
:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Calcule os limites abaixo.
(i)
(i)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.