Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de quarta ordem:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação em duas partes: a equação homogênea e a equação particular. A equação homogênea é quando igualamos a parte não homogênea (lado direito) a zero:
A solução geral da equação original será a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) e da solução particular.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea. Primeiro, encontramos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo para
:
Isso nos dá quatro raízes:
,
,
, e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução complementar
é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação completa:
O lado direito da equação
indica que precisamos encontrar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somá-las.
Passo 6
Primeiro, encontramos uma solução particular para
. Como é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução na forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Segundo, encontramos uma solução particular para
. Porém, notamos que
já faz parte da solução complementar. Nesse caso, multiplicamos por
para obter uma solução independente:
Aqui,
e
são outras constantes a serem encontradas.
Passo 8
Agora, nossa solução particular total é a soma das duas:
Vamos substituir
na equação original e determinar os coeficientes
e
.
Passo 9
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de
:
Passo 10
Substituímos
e
na equação
:
Simplificando:
Passo 11
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Para os termos com
:
Para os termos com
:
Passo 12
Agora que temos os valores dos coeficientes:
Substituímos na solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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(i)
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