Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de quarta ordem:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação em duas partes: a equação homogênea e a equação particular. A equação homogênea é quando igualamos a parte não homogênea (lado direito) a zero:
A solução geral da equação original será a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) e da solução particular.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea. Primeiro, encontramos a equação característica substituindo por :
Resolvendo para :
Isso nos dá quatro raízes: , , , e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução complementar é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação completa:
O lado direito da equação indica que precisamos encontrar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somá-las.

Passo 6

Primeiro, encontramos uma solução particular para . Como é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução na forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Segundo, encontramos uma solução particular para . Porém, notamos que já faz parte da solução complementar. Nesse caso, multiplicamos por para obter uma solução independente:
Aqui, e são outras constantes a serem encontradas.

Passo 8

Agora, nossa solução particular total é a soma das duas:
Vamos substituir na equação original e determinar os coeficientes e .

Passo 9

Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de :

Passo 10

Substituímos e na equação :
Simplificando:

Passo 11

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com :
Para os termos constantes:
Para os termos com :
Para os termos com :

Passo 12

Agora que temos os valores dos coeficientes:
Substituímos na solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Calcule os limites abaixo.
(i)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
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(n)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.