Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
y'' + y = -x - x^2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária . Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Como nunca é zero, então:
Os valores de são imaginários puros, o que nos indica que as soluções da equação homogênea serão funções trigonométricas.

Passo 4

Com , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos e suas derivadas na equação diferencial:

Passo 7

Simplificamos a equação:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 8

Substituindo os valores encontrados para , e na expressão de :

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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