Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária
. Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Como
nunca é zero, então:
Os valores de
são imaginários puros, o que nos indica que as soluções da equação homogênea serão funções trigonométricas.
Passo 4
Com
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial:
Passo 7
Simplificamos a equação:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 8
Substituindo os valores encontrados para
,
e
na expressão de
:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.