Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função que depende de , dada por:
O objetivo é encontrar a primeira e a segunda derivadas dessa função em relação a . Para resolver isso, vamos usar algumas ferramentas da Cálculo Diferencial, como a regra do produto e a regra do quociente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Vamos multiplicar os dois termos:
Multiplicando os numeradores e os denominadores:

Passo 3

Agora, vamos expandir o numerador:
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos separar os termos para simplificar ainda mais:
Simplificando cada fração:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a primeira derivada em relação a . Derivando termo a termo:
Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos achar a segunda derivada derivando :
Derivando termo a termo:
Simplificando:

Resposta

A primeira derivada da função em relação a é:
E a segunda derivada é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(n)
Calcule os limites abaixo.
(j)
Calcule os limites abaixo.
(q)