Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a primeira e a segunda derivadas da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando regras de derivação para funções que são produtos de outras funções. Para resolver, vamos precisar utilizar a regra do produto e conhecer como derivar funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A função dada é um produto de
e
, então usaremos a regra do produto para derivar.
Passo 3
A regra do produto diz que se você tem uma função
, então a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão da primeira derivada fatorando
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, derivaremos
. Novamente,
é um produto de
e
, então usaremos a regra do produto mais uma vez.
Passo 7
Primeiro, identifiquemos as partes:
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto para
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão da segunda derivada:
Explicando o termo dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
A primeira derivada da função é:
E a segunda derivada é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(n)
(n)
Determine o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
.
Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.
Calcule os limites abaixo.
(j)
(j)