Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a primeira e a segunda derivadas da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando regras de derivação para funções que são produtos de outras funções. Para resolver, vamos precisar utilizar a regra do produto e conhecer como derivar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A função dada é um produto de e , então usaremos a regra do produto para derivar.

Passo 3

A regra do produto diz que se você tem uma função , então a derivada de em relação a é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão da primeira derivada fatorando :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, derivaremos . Novamente, é um produto de e , então usaremos a regra do produto mais uma vez.

Passo 7

Primeiro, identifiquemos as partes:
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto para :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão da segunda derivada:
Explicando o termo dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

A primeira derivada da função é:
E a segunda derivada é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(n)
Determine o ponto do plano que está mais próximo do ponto .
Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.
Calcule os limites abaixo.
(j)