• Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    e) lim x 1 x^4-1x^2-6 x+5;

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício pertence ao tópico de Cálculo de Limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^4 - 11^2 - 6 cdot 1 + 5 = 1 - 11 - 6 + 5 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para lidar com essa indeterminação, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Fatorando o numerador x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) :
Podemos reconhecer que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) é uma diferença de quadrados:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Agora, fatoramos x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) novamente como diferença de quadrados:
Portanto, o numerador fica:
Fatorando o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão 5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5.

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^4 - 1x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1)(x - 5)
Podemos simplificar cancelando o fator comum (x + 1)(x^2 + 1)x - 5 :

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir (1 + 1)(1^2 + 1)1 - 5 = 2 cdot 2-4 = 4-4 = -1 sem obter uma forma indeterminada:

Resposta

O limite é igual a -1.

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