Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções. Para resolver, vamos analisar cada condição passo a passo e ver como elas influenciam o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites quando se aproxima de 2 e de -2. Esses pontos são importantes porque indicam comportamentos assimptóticos, onde a função pode “explodir” para positivo ou negativo infinito.
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ), o limite é 2:
    Isso significa que, à medida que chega perto de 2 vindo pela esquerda, o valor da função se aproxima de 2.
  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ), o limite é infinito:
    Aqui, vindo pela direita, a função cresce sem limites à medida que se aproxima de 2.
  • Quando se aproxima de -2 pela esquerda ( ), o limite é negativo infinito:
    Vindo pela esquerda, a função desce sem limites perto de -2.
  • Quando se aproxima de -2 pela direita ( ), o limite é infinito:
    Vindo pela direita, a função cresce sem limites perto de -2.
Esses comportamentos indicam que e são assíntotas verticais da função, ou seja, a função se aproxima de linhas verticais nesses pontos, mas nunca as toca.

Passo 3

Agora, vamos considerar os valores específicos da função:
  • : Quando , .
  • : Quando , .
  • : Quando , .
  • : Quando , .
Esses pontos nos dão referências exatas de onde a função passa no gráfico. Vamos marcar esses pontos para ter uma ideia melhor de como a função se comporta.

Passo 4

Além disso, temos os limites no infinito:
Isso significa que, à medida que vai para positivo ou negativo infinito, a função se aproxima de 3. Essa é uma assíntota horizontal na linha , mostrando que a função se estabiliza nesse valor para grandes valores positivos ou negativos de .

Passo 5

Vamos juntar todas essas informações para esboçar o gráfico:
  1. Assíntotas Verticais: Desenhe linhas verticais em e , indicando onde a função tende ao infinito ou a -infinito.
  2. Assíntota Horizontal: Desenhe uma linha horizontal em , mostrando que a função se aproxima desse valor no infinito.
  3. Pontos Conhecidos: Marque os pontos , , e no gráfico.
  4. Comportamento Próximo das Assíntotas:
    • Perto de , à esquerda, a função se aproxima de 2, e à direita, ela cresce sem limites.
    • Perto de , à esquerda, a função desce sem limites, e à direita, ela cresce sem limites.
  5. Conectar os Pontos: Use uma curva suave que respeite todos os comportamentos acima, garantindo que a função nunca cruza as assíntotas verticais e se aproxima da horizontal no infinito.

Resposta

O gráfico da função apresenta assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , passa pelos pontos , , e , e exibe comportamentos assimptóticos conforme as condições dadas.

Exercícios relacionados

  • Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    k) ;
  • Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    e) ;
Dada a função
a) Determine os pontos de descontinuidade da função , caso haja.
Dada as funções abaixo, determine os limites pedidos
a)
e .