Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função
que atende a várias condições específicas. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções. Para resolver, vamos analisar cada condição passo a passo e ver como elas influenciam o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites quando
se aproxima de 2 e de -2. Esses pontos são importantes porque indicam comportamentos assimptóticos, onde a função pode “explodir” para positivo ou negativo infinito.
-
Quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ), o limite é 2: Isso significa que, à medida quechega perto de 2 vindo pela esquerda, o valor da função se aproxima de 2. -
Quando
se aproxima de 2 pela direita ( ), o limite é infinito: Aqui, vindo pela direita, a função cresce sem limites à medida que se aproxima de 2. -
Quando
se aproxima de -2 pela esquerda ( ), o limite é negativo infinito: Vindo pela esquerda, a função desce sem limites perto de -2. -
Quando
se aproxima de -2 pela direita ( ), o limite é infinito: Vindo pela direita, a função cresce sem limites perto de -2.
Esses comportamentos indicam que
e
são assíntotas verticais da função, ou seja, a função se aproxima de linhas verticais nesses pontos, mas nunca as toca.
Passo 3
Agora, vamos considerar os valores específicos da função:
-
: Quando , . -
: Quando , . -
: Quando , . -
: Quando , .
Esses pontos nos dão referências exatas de onde a função passa no gráfico. Vamos marcar esses pontos para ter uma ideia melhor de como a função se comporta.
Passo 4
Além disso, temos os limites no infinito:
Isso significa que, à medida que
vai para positivo ou negativo infinito, a função se aproxima de 3. Essa é uma assíntota horizontal na linha
, mostrando que a função se estabiliza nesse valor para grandes valores positivos ou negativos de
.
Passo 5
Vamos juntar todas essas informações para esboçar o gráfico:
-
Assíntotas Verticais: Desenhe linhas verticais em
e , indicando onde a função tende ao infinito ou a -infinito. -
Assíntota Horizontal: Desenhe uma linha horizontal em
, mostrando que a função se aproxima desse valor no infinito. -
Pontos Conhecidos: Marque os pontos
, , e no gráfico. -
Comportamento Próximo das Assíntotas:
- Perto de
, à esquerda, a função se aproxima de 2, e à direita, ela cresce sem limites. - Perto de
, à esquerda, a função desce sem limites, e à direita, ela cresce sem limites.
- Perto de
-
Conectar os Pontos: Use uma curva suave que respeite todos os comportamentos acima, garantindo que a função nunca cruza as assíntotas verticais e se aproxima da horizontal no infinito.
Resposta
O gráfico da função
apresenta assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, passa pelos pontos
,
,
e
, e exibe comportamentos assimptóticos conforme as condições dadas.