Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções. Para resolver, vamos analisar cada condição passo a passo e ver como elas influenciam o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites quando se aproxima de 2 e de -2. Esses pontos são importantes porque indicam comportamentos assimptóticos, onde a função pode “explodir” para positivo ou negativo infinito.
Quando se aproxima de 2 pela esquerda (), o limite é 2:
Isso significa que, à medida que chega perto de 2 vindo pela esquerda, o valor da função se aproxima de 2.
Quando se aproxima de 2 pela direita (), o limite é infinito:
Aqui, vindo pela direita, a função cresce sem limites à medida que se aproxima de 2.
Quando se aproxima de -2 pela esquerda (), o limite é negativo infinito:
Vindo pela esquerda, a função desce sem limites perto de -2.
Quando se aproxima de -2 pela direita (), o limite é infinito:
Vindo pela direita, a função cresce sem limites perto de -2.
Esses comportamentos indicam que e são assíntotas verticais da função, ou seja, a função se aproxima de linhas verticais nesses pontos, mas nunca as toca.
Passo 3
Agora, vamos considerar os valores específicos da função:
: Quando , .
: Quando , .
: Quando , .
: Quando , .
Esses pontos nos dão referências exatas de onde a função passa no gráfico. Vamos marcar esses pontos para ter uma ideia melhor de como a função se comporta.
Passo 4
Além disso, temos os limites no infinito:
Isso significa que, à medida que vai para positivo ou negativo infinito, a função se aproxima de 3. Essa é uma assíntota horizontal na linha , mostrando que a função se estabiliza nesse valor para grandes valores positivos ou negativos de .
Passo 5
Vamos juntar todas essas informações para esboçar o gráfico:
Assíntotas Verticais: Desenhe linhas verticais em e , indicando onde a função tende ao infinito ou a -infinito.
Assíntota Horizontal: Desenhe uma linha horizontal em , mostrando que a função se aproxima desse valor no infinito.
Pontos Conhecidos: Marque os pontos , , e no gráfico.
Comportamento Próximo das Assíntotas:
Perto de , à esquerda, a função se aproxima de 2, e à direita, ela cresce sem limites.
Perto de , à esquerda, a função desce sem limites, e à direita, ela cresce sem limites.
Conectar os Pontos: Use uma curva suave que respeite todos os comportamentos acima, garantindo que a função nunca cruza as assíntotas verticais e se aproxima da horizontal no infinito.
Resposta
O gráfico da função apresenta assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , passa pelos pontos , , e , e exibe comportamentos assimptóticos conforme as condições dadas.