Dadas as funções abaixo, determine todos os pontos da função onde os limite existe
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir todos os pontos da função onde o limite existe. Vamos trabalhar com uma função que tem três partes diferentes, dependendo do valor de . O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites e funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e verificar a continuidade da função em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função dada:
Notamos que a função é definida por três partes, dependendo do intervalo de . Vamos identificar os pontos onde a definição da função muda, ou seja, , , , e (já que só está definida para ).
Passo 3
Agora, vamos verificar os limites nesses pontos críticos para ver se o limite existe. Lembrando que o limite existe em um ponto se os limites pela esquerda e pela direita são iguais e finitos.
Ponto :
À esquerda de 0 (): Usa a primeira parte da função .
À direita de 0 (): Usa a segunda parte .
Vamos calcular esses limites:
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais (), o limite não existe em .
Ponto :
À esquerda de 1 (): Usa a primeira parte .
À direita de 1 (): Usa a segunda parte .
Calculando:
Aqui, um dos limites vai para o infinito, então o limite geral não existe em .
Ponto :
À esquerda de 4 (): Usa a segunda parte .
À direita de 4 (): Usa a terceira parte .
Calculando:
Mas não está definido nos números reais, o que significa que o limite pela direita não existe. Portanto, o limite geral não existe em .
Ponto :
Aqui, a função começa a ser definida, mas não está incluído (). Vamos verificar o limite à esquerda de 5:
E à direita:
Como ambos os lados vão para , podemos dizer que o limite existe e é .