Dadas as funções abaixo, determine todos os pontos da função onde os limite existe
c) f(x)= (12)^x, & se x <= 1 1x-1, & se 04

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir todos os pontos da função onde o limite existe. Vamos trabalhar com uma função que tem três partes diferentes, dependendo do valor de . O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites e funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e verificar a continuidade da função em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função dada:
f(x) = (12)^x, & se x <= 1 1x - 1, & se 0 < x <= 4 ln(x - 5), & se x > 4
Notamos que a função é definida por três partes, dependendo do intervalo de . Vamos identificar os pontos onde a definição da função muda, ou seja, , , , e (já que só está definida para ).

Passo 3

Agora, vamos verificar os limites nesses pontos críticos para ver se o limite existe. Lembrando que o limite existe em um ponto limx to 0^- (12)^x = (12)^0 = 1 se os limites pela esquerda e pela direita são iguais e finitos.
Ponto limx to 0^+ 1x - 1 = 1-1 = -1 :
  • À esquerda de 0 ( limx to 1^- (12)^x = (12)^1 = 12 ): Usa a primeira parte da função limx to 1^+ 1x - 1 = limx to 1^+ 10^+ = +infty .
  • À direita de 0 ( limx to 4^- 1x - 1 = 14 - 1 = 13 ): Usa a segunda parte limx to 4^+ ln(x - 5) = ln(4 - 5) = ln(-1) .
Vamos calcular esses limites:
limx to 5^- ln(x - 5) = ln(0^+) = -infty
limx to 5^+ ln(x - 5) = ln(0^+) = -infty
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ( ), o limite não existe em .
Ponto :
  • À esquerda de 1 ( ): Usa a primeira parte .
  • À direita de 1 ( ): Usa a segunda parte .
Calculando:
Aqui, um dos limites vai para o infinito, então o limite geral não existe em .
Ponto :
  • À esquerda de 4 ( ): Usa a segunda parte .
  • À direita de 4 ( ): Usa a terceira parte .
Calculando:
Mas não está definido nos números reais, o que significa que o limite pela direita não existe. Portanto, o limite geral não existe em .
Ponto :
Aqui, a função começa a ser definida, mas não está incluído ( ). Vamos verificar o limite à esquerda de 5:
E à direita:
Como ambos os lados vão para , podemos dizer que o limite existe e é .

Resposta

O limite da função existe apenas em .

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