Dadas as funções abaixo, determine todos os pontos da função onde os limite existe
b) f(x) = { 2^x, se x <= 0; ln(x), se 0 < x <= 4; 2x - 1, se x > 4 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os pontos onde o limite da função existe. A função dada é uma função por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e continuidade de funções. Vamos verificar cada pedaço da função e também os pontos onde a função muda de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função:
Cada uma dessas expressões define em um intervalo específico de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a existência do limite em cada intervalo:
  1. Para : A função é , que é uma função exponencial contínua em todo o seu domínio. Portanto, os limites existem para todos os .
  2. Para : A função é , que também é contínua e diferenciável no seu domínio . Assim, os limites existem para todos os .
  3. Para : A função é , uma função linear que é contínua em todo o seu domínio. Portanto, os limites existem para todos os .

Passo 4

Os pontos críticos para verificar os limites são os pontos onde a função muda de expressão, ou seja, e . Vamos analisar cada um deles:
  1. Em :
    • Limite pela esquerda ( ): Aqui, usamos . Então:
    • Limite pela direita ( ): Aqui, usamos . No entanto, tende a quando se aproxima de 0 pela direita:
    • Conclusão: Como os limites laterais não são iguais, o limite em não existe.
  2. Em :
    • Limite pela esquerda ( ): Usamos :
    • Limite pela direita ( ): Usamos :
    • Conclusão: Como , os limites laterais são diferentes, então o limite em também não existe.

Resposta

O limite da função existe em todos os pontos de exceto em e .

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