Dadas as funções abaixo, determine todos os pontos da função onde os limite existe
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os pontos onde o limite da função existe. A função dada é uma função por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e continuidade de funções. Vamos verificar cada pedaço da função e também os pontos onde a função muda de expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função:
Cada uma dessas expressões define em um intervalo específico de .
Passo 3
Agora, vamos analisar a existência do limite em cada intervalo:
Para : A função é , que é uma função exponencial contínua em todo o seu domínio. Portanto, os limites existem para todos os .
Para : A função é , que também é contínua e diferenciável no seu domínio . Assim, os limites existem para todos os .
Para : A função é , uma função linear que é contínua em todo o seu domínio. Portanto, os limites existem para todos os .
Passo 4
Os pontos críticos para verificar os limites são os pontos onde a função muda de expressão, ou seja, e . Vamos analisar cada um deles:
Em :
Limite pela esquerda (): Aqui, usamos . Então:
Limite pela direita (): Aqui, usamos . No entanto, tende a quando se aproxima de 0 pela direita:
Conclusão: Como os limites laterais não são iguais, o limite em não existe.
Em :
Limite pela esquerda (): Usamos :
Limite pela direita (): Usamos :
Conclusão: Como , os limites laterais são diferentes, então o limite em também não existe.
Resposta
O limite da função existe em todos os pontos de exceto em e .