• Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    a) lim x 0 x^2-9x^2-4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar regras básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da fração:
Numerador:
Denominador:
Ambos são expressões quadráticas que podemos fatorar para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Isso é uma diferença de quadrados, que segue a fórmula:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Procuramos dois números que multiplicados dão +3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3.
Então:

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão do limite, temos:
x^2-9x^2-4x+3 = (x - 3)(x + 3)(x - 1)(x - 3)
Podemos simplificar o termo (x + 3)(x - 1) que aparece no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, a expressão está simplificada e podemos calcular o limite diretamente substituindo lim x 0 x + 3x - 1 = 0 + 30 - 1 = 3-1 = -3 por 0:

Resposta

O limite é .

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