• Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    c) lim x 1 x^2-9x^2-4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1 x^2-9x^2-4 x+3
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento das funções quando se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^2 - 9 = 1 - 9 = -8 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
1^2 - 4 cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0
Denominador:
Então, ao substituir , obtemos uma forma , o que indica que o limite pode tender ao infinito ou não existir.

Passo 3

Como a substituição direta resultou em uma divisão por zero, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão:
Fatorando o numerador:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Fatorando o denominador:
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
Agora, a expressão fica:
(x - 3)(x + 3)(x - 1)(x - 3)

Passo 4

Observamos que o termo (x + 3)(x - 1) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelá-lo, desde que x + 3x - 1:
Agora, a expressão simplificada é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada à medida que lim x 1 x + 3x - 1 se aproxima de 1:
1 + 31 - 1 = 40
Substituindo :
Isso nos indica que o limite tende a infinito. Mas precisamos verificar pelo lado positivo ou negativo.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ):
  • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
    O denominador é um número positivo muito pequeno, então a fração inteira tende a .
  • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    O denominador é um número negativo muito pequeno, então a fração inteira tende a .

Passo 7

Como os limites laterais tendem a e , respectivamente, e são diferentes, concluímos que o limite não existe no sentido tradicional. Porém, podemos dizer que a função tende ao infinito (positivo ou negativo) dependendo do lado pelo qual nos aproximamos.

Resposta

O limite não existe, pois a função tende a quando se aproxima de 1 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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