• Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento das funções quando se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
Denominador:
Então, ao substituir , obtemos uma forma , o que indica que o limite pode tender ao infinito ou não existir.

Passo 3

Como a substituição direta resultou em uma divisão por zero, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão:
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Agora, a expressão fica:

Passo 4

Observamos que o termo aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelá-lo, desde que :
Agora, a expressão simplificada é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada à medida que se aproxima de 1:
Substituindo :
Isso nos indica que o limite tende a infinito. Mas precisamos verificar pelo lado positivo ou negativo.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ):
  • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
    O denominador é um número positivo muito pequeno, então a fração inteira tende a .
  • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    O denominador é um número negativo muito pequeno, então a fração inteira tende a .

Passo 7

Como os limites laterais tendem a e , respectivamente, e são diferentes, concluímos que o limite não existe no sentido tradicional. Porém, podemos dizer que a função tende ao infinito (positivo ou negativo) dependendo do lado pelo qual nos aproximamos.

Resposta

O limite não existe, pois a função tende a quando se aproxima de 1 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
  • Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    i) ;
Calcule em cada caso.
(a)