- Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento das funções quando
se aproxima de um valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
Denominador:
Então, ao substituir
, obtemos uma forma
, o que indica que o limite pode tender ao infinito ou não existir.
Passo 3
Como a substituição direta resultou em uma divisão por zero, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão:
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Agora, a expressão fica:
Passo 4
Observamos que o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelá-lo, desde que
:
Agora, a expressão simplificada é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada à medida que
se aproxima de 1:
Substituindo
:
Isso nos indica que o limite tende a infinito. Mas precisamos verificar pelo lado positivo ou negativo.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de 1 pela direita (
) e pela esquerda (
):
-
Quando
se aproxima de 1 pela direita ( ):
O denominadoré um número positivo muito pequeno, então a fração inteira tende a . -
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
O denominadoré um número negativo muito pequeno, então a fração inteira tende a .
Passo 7
Como os limites laterais tendem a
e
, respectivamente, e são diferentes, concluímos que o limite não existe no sentido tradicional. Porém, podemos dizer que a função tende ao infinito (positivo ou negativo) dependendo do lado pelo qual nos aproximamos.
Resposta
O limite não existe, pois a função tende a
quando
se aproxima de 1 pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.
Exercícios relacionados
Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
- Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
i);
Calcule
em cada caso.
(a)
(a)