• Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    i) lim x -infty raizx^2-1x-1;

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o conteúdo de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes quadradas e dividir termos de maior grau.

Passo 2

Primeiro, observe que quando raizx^2-1 = raizx^2(1 - 1x^2) = |x|raiz1 - 1x^2 = -xraiz1 - 1x^2 tende a , é um número muito grande e negativo. A expressão pode ser simplificada. Sabemos que , e como é negativo, . Então:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
raizx^2-1x-1 = -xraiz1 - 1x^2x - 1

Passo 4

Vamos dividir o numerador e o denominador por -xraiz1 - 1x^2x - 1 = -raiz1 - 1x^21 - 1x , que é o termo de maior grau:

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando limx -infty -raiz1 - 1x^21 - 1x :
raiz1 - 1x^2 raiz1 - 0 = 1
Como 1 - 1x 1 - 0 = 1 tende a , tende a 0. Portanto:

Resposta

Substituindo esses valores, o limite é:
-11 = -1
Portanto,
limx -infty raizx^2-1x-1 = -1

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