• Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    b) lim x 3 x^2-9x^2-4 x+3;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 3 da função . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar essas funções para evitar formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3^2 - 93^2 - 4 cdot 3 + 3 = 9 - 99 - 12 + 3 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Uh-oh, apareceu uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para conseguir resolver o limite.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, a gente vai fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Numerador:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:
x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)
Denominador:
precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -3 e -1:

Passo 4

Agora, nossa função fica:
(x - 3)(x + 3)(x - 3)(x - 1)
A gente percebe que tem um fator comum x + 3x - 1 no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator, lembrando que não é exatamente 3, mas está se aproximando disso:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora conseguimos calcular o limite substituindo 3 + 33 - 1 = 62 = 3 :

Resposta

O limite é igual a 3.

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