Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas
a)
& lim x 1^- f(x)=infty ; lim x 1^+ f(x)=infty ; f(1)=4 ; f(0)=2 ; f(4)=0, & f(-2)=0 ; lim x infty f(x)=1 ; lim x -infty f(x)=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas. Isso envolve conceitos de limites, comportamento da função em determinados pontos e em direção ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam, como pontos específicos influenciam o gráfico e como a função se comporta quando vai para ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites quando limx to 1^- f(x) = infty e limx to 1^+ f(x) = infty se aproxima de 1 por ambos os lados:
Isso significa que, quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, o valor de cresce sem limite. Portanto, temos um assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos ver o valor de f(1) = 4 em :
Apesar do comportamento dos limites próximos a 1, a função está definida nesse ponto e tem o valor 4. Então, teremos um ponto pontual no gráfico em .

Passo 4

Vamos analisar os outros pontos dados:
f(0) = 2, f(4) = 0, f(-2) = 0
Esses pontos nos ajudam a marcar pontos específicos no gráfico: em , ; em e , , o que indica que esses são interceptos com o eixo .

Passo 5

Agora, observamos os limites quando limx to infty f(x) = 1 e limx to -infty f(x) = -1 vai para o infinito e para o negativo infinito:
Isso indica que a função tem assíntotas horizontais. Quando cresce para , se aproxima de 1, e quando tende a , se aproxima de -1.

Passo 6

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Assíntotas Verticais: Em , a função tende a por ambos os lados.
  2. Ponto Específico: Em , .
  3. Interceptos: Em , ; em e , .
  4. Assíntotas Horizontais: quando e quando .
  5. Comportamento Geral: A função deve conectar esses pontos respeitando as assíntotas fornecidas.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em , passa pelos pontos , , e . Além disso, a função se aproxima de quando vai para e de quando vai para . Com essas características, o esboço mostra a função subindo verticalmente próximo a , cruzando os pontos indicados e se aproximando das assíntotas horizontais nas extremidades.

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