Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que atende a várias condições específicas. Isso envolve conceitos de limites, comportamento da função em determinados pontos e em direção ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam, como pontos específicos influenciam o gráfico e como a função se comporta quando
vai para
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites quando
se aproxima de 1 por ambos os lados:
Isso significa que, quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, o valor de
cresce sem limite. Portanto, temos um assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos ver o valor de
em
:
Apesar do comportamento dos limites próximos a 1, a função está definida nesse ponto e tem o valor 4. Então, teremos um ponto pontual no gráfico em
.
Passo 4
Vamos analisar os outros pontos dados:
Esses pontos nos ajudam a marcar pontos específicos no gráfico: em
,
; em
e
,
, o que indica que esses são interceptos com o eixo
.
Passo 5
Agora, observamos os limites quando
vai para o infinito e para o negativo infinito:
Isso indica que a função tem assíntotas horizontais. Quando
cresce para
,
se aproxima de 1, e quando
tende a
,
se aproxima de -1.
Passo 6
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
- Assíntotas Verticais: Em
, a função tende a por ambos os lados. - Ponto Específico: Em
, . - Interceptos: Em
, ; em e , . - Assíntotas Horizontais:
quando e quando . - Comportamento Geral: A função deve conectar esses pontos respeitando as assíntotas fornecidas.
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
, passa pelos pontos
,
,
e
. Além disso, a função se aproxima de
quando
vai para
e de
quando
vai para
. Com essas características, o esboço mostra a função subindo verticalmente próximo a
, cruzando os pontos indicados e se aproximando das assíntotas horizontais nas extremidades.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada caso.
(a)
(a)
- Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
i);
- Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
b);
- Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
g)