• Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    j) lim x infty raizx^4-1x^2-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse tipo de limite envolve funções polinomiais e radicais. Para resolvê-lo, vamos analisar como o comportamento das funções no numerador e no denominador muda quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador raizx^4 - 1 approx raizx^4 = x^2 . Quando é muito grande, o termo domina o , então podemos aproximar:
Isso porque a raiz quadrada de é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador x^2 - 1 approx x^2 . Similarmente, para muito grande, o termo domina o , então temos:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
raizx^4 - 1x^2 - 1 approx x^2x^2 = 1
Isso indica que, conforme tende para o infinito, a expressão se aproxima de 1.

Passo 5

Para garantir que nossa aproximação está correta, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por raizx^4 - 1x^2 - 1 = x^2 raiz1 - 1x^4x^2 (1 - 1x^2) = raiz1 - 1x^41 - 1x^2 , que é a maior potência presente:
raiz1 - 01 - 0 = 11 = 1
Quando tende para o infinito, e tendem a zero, então:

Resposta

O limite é igual a 1.

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