a) Determine os pontos de descontinuidade da função , caso haja.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma função que tem duas partes e me pediu para descobrir onde ela pode estar descontínua. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, e vamos precisar entender como verificar se uma função está contínua em certos pontos. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Aqui, a função está definida de duas maneiras: uma para todos os valores de que não são e outra especificamente para .
Passo 3
Vamos simplificar a parte onde :
Sabemos que , então substituindo:
Podemos simplificar dividindo por , desde que (o que já estamos garantindo porque ):
Então, para , a função é igual a .
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Temos que verificar principalmente o ponto onde a definição da função muda, que é em .
Passo 5
Calculando o limite de quando se aproxima de :
Como para , , então:
Agora, vemos que o valor da função em é:
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função:
Como o limite não é igual ao valor da função no ponto , a função apresenta uma descontinuidade nesse ponto.