Dada a função
a) Determine os pontos de descontinuidade da função , caso haja.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma função que tem duas partes e me pediu para descobrir onde ela pode estar descontínua. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, e vamos precisar entender como verificar se uma função está contínua em certos pontos. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Aqui, a função está definida de duas maneiras: uma para todos os valores de que não são e outra especificamente para .

Passo 3

Vamos simplificar a parte onde :
Sabemos que , então substituindo:
Podemos simplificar dividindo por , desde que (o que já estamos garantindo porque ):
Então, para , a função é igual a .

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Temos que verificar principalmente o ponto onde a definição da função muda, que é em .

Passo 5

Calculando o limite de quando se aproxima de :
Como para , , então:
Agora, vemos que o valor da função em é:

Passo 6

Comparando o limite com o valor da função:
Como o limite não é igual ao valor da função no ponto , a função apresenta uma descontinuidade nesse ponto.

Resposta

A função apresenta descontinuidade no ponto .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas
b)
  • Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    k) ;
Dada as funções abaixo, determine os limites pedidos
a)
e .
  • Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    j) ;