Dada a função
a) Determine os pontos de descontinuidade da função
, caso haja.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma função que tem duas partes e me pediu para descobrir onde ela pode estar descontínua. A matéria que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, e vamos precisar entender como verificar se uma função está contínua em certos pontos. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Aqui, a função está definida de duas maneiras: uma para todos os valores de
que não são
e outra especificamente para
.
Passo 3
Vamos simplificar a parte onde
:
Sabemos que
, então substituindo:
Podemos simplificar dividindo
por
, desde que
(o que já estamos garantindo porque
):
Então, para
, a função
é igual a
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Temos que verificar principalmente o ponto onde a definição da função muda, que é em
.
Passo 5
Calculando o limite de
quando
se aproxima de
:
Como para
,
, então:
Agora, vemos que o valor da função em
é:
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função:
Como o limite não é igual ao valor da função no ponto
, a função apresenta uma descontinuidade nesse ponto.
Resposta
A função
apresenta descontinuidade no ponto
.