Calcule os limites abaixo. Justifique.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita da seguinte integral:
Vamos precisar usar conceitos de limites, integrais e propriedades da função delta de Dirac para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte da integral que envolve
:
Essa expressão se parece muito com a função delta de Dirac, que é uma “função” usada para modelar concentrações infinitas em um único ponto. A ideia é que, conforme
se aproxima de 0, essa fração se aproxima de uma função que é zero em todo lugar, exceto em
, onde ela “explode”.
Passo 3
Sabemos que a função delta de Dirac
tem a propriedade:
Então, podemos substituir a fração dentro da integral pela delta de Dirac:
Passo 4
A função delta de Dirac tem a propriedade de “pegar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde ocorre a concentração. Ou seja:
Isso porque a delta de Dirac faz com que tudo fora de
desapareça, restando apenas o valor de
em
.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução
da equação integral
em função de
.
Calcule as integrais.
(b)
(b)
Calcule os limites abaixo. Justifique.
(b) .
(b)
Calcule as seguintes integrais:
a)
a)