Calcule os limites abaixo. Justifique.
(a) lim varepsilon 0+ 1pi integral-infty^infty varepsilon(x-y)^2+varepsilon^2 e^-y^2 d y

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular o limite quando lim varepsilon 0+ 1pi integral-infty^infty varepsilon(x-y)^2+varepsilon^2 e^-y^2 , dy se aproxima de 0 pela direita da seguinte integral:
Vamos precisar usar conceitos de limites, integrais e propriedades da função delta de Dirac para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte da integral que envolve varepsilon(x-y)^2+varepsilon^2 :
Essa expressão se parece muito com a função delta de Dirac, que é uma “função” usada para modelar concentrações infinitas em um único ponto. A ideia é que, conforme se aproxima de 0, essa fração se aproxima de uma função que é zero em todo lugar, exceto em , onde ela “explode”.

Passo 3

Sabemos que a função delta de Dirac limvarepsilon to 0+ 1pi varepsilon(x - y)^2 + varepsilon^2 = de tem a propriedade:
lim varepsilon 0+ 1pi integral-infty^infty varepsilon(x-y)^2+varepsilon^2 e^-y^2 , dy = integral-infty^infty de
Então, podemos substituir a fração dentro da integral pela delta de Dirac:

Passo 4

A função delta de Dirac tem a propriedade de “pegar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde ocorre a concentração. Ou seja:
integral-infty^infty de
Isso porque a delta de Dirac faz com que tudo fora de desapareça, restando apenas o valor de em .

Resposta

O limite é igual a .

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