Calcule os limites abaixo. Justifique.
(a)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da seguinte integral:
Vamos precisar usar conceitos de limites, integrais e propriedades da função delta de Dirac para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte da integral que envolve :
Essa expressão se parece muito com a função delta de Dirac, que é uma “função” usada para modelar concentrações infinitas em um único ponto. A ideia é que, conforme se aproxima de 0, essa fração se aproxima de uma função que é zero em todo lugar, exceto em , onde ela “explode”.

Passo 3

Sabemos que a função delta de Dirac tem a propriedade:
Então, podemos substituir a fração dentro da integral pela delta de Dirac:

Passo 4

A função delta de Dirac tem a propriedade de “pegar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde ocorre a concentração. Ou seja:
Isso porque a delta de Dirac faz com que tudo fora de desapareça, restando apenas o valor de em .

Resposta

O limite é igual a .

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(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução da equação integral
em função de .
Calcule as integrais.
(b)
Calcule os limites abaixo. Justifique.
(b) .
Calcule as seguintes integrais:
a)