Calcule as seguintes integrais:
a) integral 3 x e^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral integral 3x e^4x dx. Esse exercício tá na área de Cálculo Integral, especificamente na técnica de integração por partes. Pra resolver isso, vamos precisar identificar duas funções dentro da integral que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = 3x e dv = e^4x dx . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada. Aqui, vou deixar:
Então, o restante será nosso :

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx(3x) dx = 3 dx para encontrar v = integral e^4x dx = 14 e^4x e integrar para encontrar :
Lembrando que, pra integrar , a integral é .

Passo 4

Com tudo isso, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que achamos:
integral 3x e^4x dx = 3x cdot 14 e^4x - integral 14 e^4x cdot 3 dx
Simplificando:
= 3x4 e^4x - 34 integral e^4x dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a última integral:
integral e^4x dx = 14 e^4x
Substituindo de volta:
= 3x4 e^4x - 34 cdot 14 e^4x
= 3x4 e^4x - 316 e^4x
Podemos fatorar = e^4x ( 3x4 - 316 ) :
E, claro, não esquece a constante de integração .

Resposta

A integral é:
integral 3x e^4x dx = e^4x ( 3x4 - 316 ) + C

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