Calcule os limites abaixo. Justifique.
(b) lim varepsilon 0+ 1raizpi varepsilon^2 integral-infty^infty e^-(x-y)^2varepsilon^2 e^-|y| d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando lim varepsilon 0^+ 1raizpi varepsilon^2 integral-infty^infty e^-(x-y)^2varepsilon^2 e^-|y| , dy tende a zero pela direita da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e integrais, especialmente envolvendo a função Gaussiana. Vamos precisar entender como a função Gaussiana se comporta quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
1raizpi varepsilon^2 = 1varepsilon raizpi
Então, nosso limite fica:
lim varepsilon 0^+ 1varepsilon raizpi integral-infty^infty e^-(x-y)^2varepsilon^2 e^-|y| , dy

Passo 3

A função é uma Gaussiana centrada em com desvio padrão . Quando se aproxima de zero, essa função se torna mais “pontuda” e se aproxima de uma função delta de Dirac, que essencialmente “pega” o valor da função que está sendo multiplicada por ela no ponto central.

Passo 4

Então, o nosso integral se comporta como:
1varepsilon raizpi integral-infty^infty e^-(x-y)^2varepsilon^2 e^-|y| , dy approx e^-|x|
porque a função Gaussiana está se tornando uma função delta que seleciona o valor de quando .

Passo 5

Matematicamente, sabemos que:
limvarepsilon 0^+ 1varepsilon raizpi e^-(x-y)^2varepsilon^2 = de
onde lim varepsilon 0^+ 1varepsilon raizpi integral-infty^infty e^-(x-y)^2varepsilon^2 e^-|y| , dy = e^-|x| é a função delta de Dirac. Então, aplicando isso na integral:

Resposta

lim varepsilon 0^+ 1raizpi varepsilon^2 integral-infty^infty e^-(x-y)^2varepsilon^2 e^-|y| , dy = e^-|x|

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