Calcule os limites abaixo. Justifique.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a zero pela direita da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e integrais, especialmente envolvendo a função Gaussiana. Vamos precisar entender como a função Gaussiana se comporta quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
Então, nosso limite fica:

Passo 3

A função é uma Gaussiana centrada em com desvio padrão . Quando se aproxima de zero, essa função se torna mais “pontuda” e se aproxima de uma função delta de Dirac, que essencialmente “pega” o valor da função que está sendo multiplicada por ela no ponto central.

Passo 4

Então, o nosso integral se comporta como:
porque a função Gaussiana está se tornando uma função delta que seleciona o valor de quando .

Passo 5

Matematicamente, sabemos que:
onde é a função delta de Dirac. Então, aplicando isso na integral:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo. Justifique.
(a)
(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução da equação integral
em função de .
Calcule as seguintes integrais:
a)
Calcule as seguintes integrais:
b)