Calcule os limites abaixo. Justifique.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a zero pela direita da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e integrais, especialmente envolvendo a função Gaussiana. Vamos precisar entender como a função Gaussiana se comporta quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
Então, nosso limite fica:
Passo 3
A função
é uma Gaussiana centrada em
com desvio padrão
. Quando
se aproxima de zero, essa função se torna mais “pontuda” e se aproxima de uma função delta de Dirac, que essencialmente “pega” o valor da função que está sendo multiplicada por ela no ponto central.
Passo 4
Então, o nosso integral se comporta como:
porque a função Gaussiana está se tornando uma função delta que seleciona o valor de
quando
.
Passo 5
Matematicamente, sabemos que:
onde
é a função delta de Dirac. Então, aplicando isso na integral:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo. Justifique.
(a)
(a)
(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução
da equação integral
em função de
.
Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Calcule as seguintes integrais:
b)
b)