Calcule as seguintes integrais:
b) integral 7 t csc ^2(3 t) d t

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral integral 7 t csc ^2(3 t) , d t. Vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Identificamos as funções para aplicar integração por partes:
u = 7t
d v = csc^2(3t) , dt

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 7 , dt
integral d v = integral csc^2(3t) , dt = -13 cot(3t) + C

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes: integral u , d v = u v - integral v , d u
Substituindo:
integral 7t csc^2(3t) , dt = 7t (-13 cot(3t)) - integral (-13 cot(3t)) 7 , dt

Passo 5

Simplificamos a expressão:
= -73 t cot(3t) + 73 integral cot(3t) , dt

Passo 6

Calculamos a integral restante integral cot(3t) , dt:
integral cot(3t) , dt = 13 ln|sin(3t)| + C

Passo 7

Substituímos de volta na expressão:
= -73 t cot(3t) + 79 ln|sin(3t)| + C

Resposta

integral 7 t csc ^2(3 t) , d t = -73 t cot(3t) + 79 ln|sin(3t)| + C

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