Calcule os limites abaixo:
b) lim x 0[1x^2+x-1cos (x)-1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0[1x^2+x-1cos (x)-1]
Aqui, estamos lidando com limites matemáticos, especificamente analisando o comportamento da expressão quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar operações algébricas básicas e expansões em séries de Taylor para simplificar as expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo separadamente quando 1x^2 + x approx 1x se aproxima de 0.
  • Para o primeiro termo cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots:
    Quando cos(x) - 1 = -x^22 + x^424 - dots é muito pequeno, cos(x) - 1 approx -x^22 é ainda menor, então 1cos(x) - 1 approx -2x^2 é aproximadamente igual a . Portanto:
  • Para o segundo termo :
    Sabemos que a expansão da série de Taylor para em torno de 0 é:
    Então,
    Tomando apenas os primeiros termos (já que é pequeno):
    Portanto,

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
1x^2 + x - 1cos(x) - 1 approx 1x - (-2x^2) = 1x + 2x^2

Passo 4

Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de 0:
  • cresce sem limite positivo ou negativo dependendo do lado que se aproxima.
  • sempre cresce positivamente para qualquer valor de próximo de 0.
Somando essas duas coisas, a expressão total tende a infinito positivo.

Resposta

O limite é infinito positivo, ou seja,
lim x 0[1x^2+x-1cos (x)-1] = +infty

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