Determine, se existir, as assíntotas de cada uma das funções abaixo e faça o gráfico das mesmas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar, se existirem, as assíntotas da função
e desenhar o gráfico dela. O conteúdo envolvido aqui são as assíntotas de funções racionais. Para isso, vamos precisar identificar assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas analisando o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos resolver
.
Agora, verificamos o numerador em
e
:
Para
:
Para
:
Como o numerador também é zero nesses pontos, não temos assíntotas verticais. Em vez disso, esses pontos podem ser buracos no gráfico.
Passo 3
Agora, vamos procurar assíntotas horizontais ou oblíquas. Para isso, observamos o grau do numerador e do denominador.
O grau do numerador é 3 e o grau do denominador é 2. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, a função terá uma assíntota oblíqua.
Passo 4
Para encontrar a assíntota oblíqua, fazemos a divisão polinomial de
por
.
Dividindo
por
:
Portanto, a parte linear
é a assíntota oblíqua da função.
Resposta
A função
possui uma assíntota oblíqua definida por
. Além disso, há buracos no gráfico nos pontos
e
. O gráfico da função se aproxima da reta
conforme
tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
b)
b)
Esboce o gráfico de cada função
.
Calcule os limites abaixo:
Determine, se existir, as assíntotas de cada uma das funções abaixo e faça o gráfico das mesmas.