Calcule os limites abaixo: lim x -infty(x+raizx^2-x)

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular o limite . Estamos trabalhando com limites no cálculo, especialmente envolvendo funções com raízes quadradas e expressões polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: . Quando tende a , é um número muito grande e negativo. Queremos simplificar essa expressão para entender melhor como ela se comporta nesse cenário.

Passo 3

Observe que dentro da raiz quadrada temos raizx^2 - x = raizx^2(1 - 1x) = |x| cdot raiz1 - 1x . Podemos fatorar para facilitar a simplificação:

Passo 4

Como raizx^2 - x = -x cdot raiz1 - 1x tende a , é negativo, então . Substituindo isso na expressão:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta na original:
x + raizx^2 - x = x + (-x) cdot raiz1 - 1x = x - x cdot raiz1 - 1x = x (1 - raiz1 - 1x)

Passo 6

Queremos encontrar o limite de raiz1 - 1x approx 1 - 12x quando . Para isso, vamos usar uma aproximação para a raiz quadrada. Quando é muito pequeno (já que é grande em módulo), podemos aproximar usando a expansão de Taylor:

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão:
x (1 - (1 - 12x)) = x (12x) = 12

Resposta

O limite é .

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