Calcule os limites abaixo: lim x infty raiz2 x^4-3 x-52+x^2+3 x^4

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema envolve calcular o comportamento de uma função quando cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como as potências de influenciam o comportamento da função nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior potência no numerador e no denominador da fração dentro da raiz. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Esses termos são os que mais influenciam o valor da função quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior termo de 2x^4 - 3x - 52 + x^2 + 3x^4 = 2 - 3x^3 - 5x^42x^4 + 1x^2 + 3 , que é :
Aqui, dividimos cada termo por para facilitar a análise do limite.

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando 2 - 0 - 00 + 0 + 3 = 23 tende ao infinito. Sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito, para qualquer . Portanto, os termos , , e vão se aproximar de 0. Assim, a expressão simplifica para:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a raiz quadrada ao resultado obtido:
raiz23 = raiz2raiz3 = raiz63
Onde simplificamos multiplicando numerador e denominador por para racionalizar a fração.

Resposta

O limite é .

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