Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça todas as condições dadas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que satisfaz várias condições de limite. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre limites e comportamentos de funções em diferentes pontos e para
indo ao infinito. Pra resolver isso, vamos analisar cada condição uma por uma e ver como elas influenciam o formato do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Isso significa que, próximo de
, a função cai para valores muito negativos. No gráfico, isso geralmente indica que existe uma assíntota vertical em
, onde a função se aproxima de menos infinito à medida que
se aproxima de 2.
Passo 3
Agora,
. Isso quer dizer que, conforme
aumenta sem limite,
também cresce sem limite. No gráfico, a função vai se estender para cima à medida que nos afastamos para a direita no eixo
.
Passo 4
Em seguida, temos
. Isso indica que, quando
fica muito negativo, a função se aproxima de zero. Assim, o gráfico vai se aproximar do eixo
pela esquerda, mas sem tocá-lo, funcionando como uma assíntota horizontal.
Passo 5
Agora vamos para
. Isso significa que, quando
se aproxima de 0 vindo dos valores positivos, a função cresce para infinito. No gráfico, isso mostra que há uma subida vertical quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 6
Por último,
. Isso indica que, quando
se aproxima de 0 vindo dos valores negativos, a função se aproxima de zero. Assim, do lado esquerdo de 0, o gráfico se aproxima do eixo
.
Resposta
Com base nas condições dadas, o gráfico de
terá:
- Uma assíntota vertical em
, com a função descendo para menos infinito. - À medida que
vai para , cresce para . - À medida que
vai para , se aproxima de 0, agindo como uma assíntota horizontal. - Em
, do lado positivo, a função sobe para , e do lado negativo, se aproxima de 0.
Então, o esboço do gráfico vai mostrar essas características, conectando os diferentes comportamentos conforme descrito.