Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições dadas: lim x 2 f(x)=-infty, lim x infty f(x)=infty, lim x -infty f(x)=0, lim x 0^+ f(x)=infty e lim x 0^- f(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que satisfaz várias condições de limite. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre limites e comportamentos de funções em diferentes pontos e para indo ao infinito. Pra resolver isso, vamos analisar cada condição uma por uma e ver como elas influenciam o formato do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Isso significa que, próximo de , a função cai para valores muito negativos. No gráfico, isso geralmente indica que existe uma assíntota vertical em , onde a função se aproxima de menos infinito à medida que se aproxima de 2.

Passo 3

Agora, . Isso quer dizer que, conforme aumenta sem limite, também cresce sem limite. No gráfico, a função vai se estender para cima à medida que nos afastamos para a direita no eixo .

Passo 4

Em seguida, temos . Isso indica que, quando fica muito negativo, a função se aproxima de zero. Assim, o gráfico vai se aproximar do eixo pela esquerda, mas sem tocá-lo, funcionando como uma assíntota horizontal.

Passo 5

Agora vamos para . Isso significa que, quando se aproxima de 0 vindo dos valores positivos, a função cresce para infinito. No gráfico, isso mostra que há uma subida vertical quando se aproxima de 0 pela direita.

Passo 6

Por último, . Isso indica que, quando se aproxima de 0 vindo dos valores negativos, a função se aproxima de zero. Assim, do lado esquerdo de 0, o gráfico se aproxima do eixo .

Resposta

Com base nas condições dadas, o gráfico de terá:
  • Uma assíntota vertical em , com a função descendo para menos infinito.
  • À medida que vai para , cresce para .
  • À medida que vai para , se aproxima de 0, agindo como uma assíntota horizontal.
  • Em , do lado positivo, a função sobe para , e do lado negativo, se aproxima de 0.
Então, o esboço do gráfico vai mostrar essas características, conectando os diferentes comportamentos conforme descrito.

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