Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria que vamos usar aqui é cálculo de limites no infinito, especificamente para funções racionais (frações com polinômios no numerador e denominador). Precisamos entender como os termos de maior grau em cima e embaixo influenciam o comportamento da função quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre limites no infinito para funções racionais. Quando tende para ou , os termos com as maiores potências de (os chamados “termos dominantes”) são os que mais influenciam o valor do limite. Isso porque, conforme fica muito grande ou muito pequeno, os termos de menor grau se tornam insignificantes comparados aos de maior grau.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos dominantes no numerador e no denominador da nossa fração:
  • No numerador: é o termo de maior grau.
  • No denominador: é o termo de maior grau.
Portanto, nossos termos dominantes são no topo e embaixo.

Passo 4

Em seguida, comparamos os graus desses termos dominantes:
  • O grau do numerador é 4.
  • O grau do denominador é 5.
Quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador, o limite da fração tende a zero. Isso acontece porque, à medida que tende para , o denominador cresce (ou decresce) em magnitude mais rapidamente que o numerador, fazendo com que a fração como um todo se aproxime de zero.

Passo 5

Além disso, como estamos lidando com , precisamos considerar o comportamento dos sinais. No entanto, como a potência do denominador é ímpar ( ), o denominador será negativo para negativo, mas o numerador, com , sempre será positivo. Mesmo assim, a razão entre um número positivo e um número negativo que está crescendo em magnitude tende a zero.

Resposta

O limite é igual a .

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