Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de limites no infinito, especificamente para funções racionais (frações com polinômios no numerador e denominador). Precisamos entender como os termos de maior grau em cima e embaixo influenciam o comportamento da função quando
vai para menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre limites no infinito para funções racionais. Quando
tende para
ou
, os termos com as maiores potências de
(os chamados “termos dominantes”) são os que mais influenciam o valor do limite. Isso porque, conforme
fica muito grande ou muito pequeno, os termos de menor grau se tornam insignificantes comparados aos de maior grau.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos dominantes no numerador e no denominador da nossa fração:
- No numerador:
é o termo de maior grau. - No denominador:
é o termo de maior grau.
Portanto, nossos termos dominantes são
no topo e
embaixo.
Passo 4
Em seguida, comparamos os graus desses termos dominantes:
- O grau do numerador é 4.
- O grau do denominador é 5.
Quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador, o limite da fração tende a zero. Isso acontece porque, à medida que
tende para
, o denominador cresce (ou decresce) em magnitude mais rapidamente que o numerador, fazendo com que a fração como um todo se aproxime de zero.
Passo 5
Além disso, como estamos lidando com
, precisamos considerar o comportamento dos sinais. No entanto, como a potência do denominador é ímpar (
), o denominador será negativo para
negativo, mas o numerador, com
, sempre será positivo. Mesmo assim, a razão entre um número positivo e um número negativo que está crescendo em magnitude tende a zero.
Resposta
O limite é igual a
.
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