Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende a mais infinito da função . Isso envolve conhecimentos de álgebra sobre limites de funções envolvendo raízes e potências. Vamos precisar entender como simplificar expressões com potências e raízes para encontrar o comportamento quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador, que é . Quando tende a infinito, os termos de maior grau geralmente dominam a expressão. Aqui, é o termo de maior grau. Então, podemos simplificar o numerador para , que é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Assim como no numerador, o termo de maior grau aqui é . Então, podemos simplificar o denominador para , que é (considerando positivo, já que estamos indo para mais infinito).

Passo 4

Com essas simplificações, nossa expressão original fica mais simples:
Isso simplifica para 1.

Passo 5

Portanto, o limite quando tende a mais infinito dessa função é 1.

Resposta

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Para todo número real , indiquemos com o maior inteiro menor ou igual a . Mostre que se e são números positivos então
Encontre números e tais que .
Calcule os limites abaixo: ;
Calcule os limites abaixo: ;