Calcule os limites abaixo: lim x +infty e^x-e^-xe^x+e^-x;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Isso envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Vamos usar propriedades dos limites e simplificar a expressão para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que quando tende a , o termo cresce bem rápido, enquanto tende a zero, porque . Então, se torna muito maior que .

Passo 3

Com isso em mente, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por e^x - e^-xe^x + e^-x = e^xe^x - e^-xe^xe^xe^x + e^-xe^x = 1 - e^-2x1 + e^-2x , que é o termo dominante. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com quando tende a . Como cresce, fica muito negativo, então tende a zero. Portanto, a expressão se aproxima de 1, e também se aproxima de 1.

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão simplificada, temos:
limx to +infty 1 - e^-2x1 + e^-2x = 1 - 01 + 0 = 11 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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