Para todo número real x, indiquemos com lfloor xrfloor o maior inteiro menor ou igual a x. Mostre que se a e b são números positivos então
lim x 0^+ xalfloorbxrfloor=ba

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da expressão . Aqui, representa o maior inteiro menor ou igual a . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de limites e da função piso ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da expressão quando se aproxima de 0 pela direita. Como é positivo e está se aproximando de 0 por valores positivos, cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

A função piso dá o maior inteiro menor ou igual a . Então, para , temos que é aproximadamente igual a , mas com uma diferença menor que 1, já que .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão original usando essa aproximação:
xa lfloor bx rfloor = xa ( bx - epsilon )
onde .

Passo 5

Simplificando a expressão:
xa cdot bx - xa cdot epsilon = ba - x epsilona

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando limx to 0^+ ( ba - x epsilona ) = ba - limx to 0^+ x epsilona tende a 0:
Como e tende a 0, o segundo termo tende a 0.

Passo 7

Portanto, o limite é:
ba - 0 = ba

Resposta

lim x 0^+ xalfloorbxrfloor = ba

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