Para todo número real
, indiquemos com
o maior inteiro menor ou igual a
. Mostre que se
e
são números positivos então
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita da expressão
. Aqui,
representa o maior inteiro menor ou igual a
. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de limites e da função piso (
).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da expressão
quando
se aproxima de 0 pela direita. Como
é positivo e
está se aproximando de 0 por valores positivos,
cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Passo 3
A função piso
dá o maior inteiro menor ou igual a
. Então, para
, temos que
é aproximadamente igual a
, mas com uma diferença menor que 1, já que
.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão original usando essa aproximação:
onde
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando
tende a 0:
Como
e
tende a 0, o segundo termo tende a 0.
Passo 7
Portanto, o limite é: