Encontre números e tais que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os números e que satisfazem o limite . Esse problema envolve conceitos de limites e derivadas, que são ferramentas importantes no cálculo para entender como funções se comportam perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro da raiz quando se aproxima de 0. Se substituirmos na expressão , teremos:
E sabemos que a raiz desse valor menos 2 está no numerador. Para que a expressão dentro da raiz não dê problemas (tipo raiz de número negativo), precisamos que seja definida e facilite o cálculo do limite.

Passo 3

Agora, observando o limite , queremos que ele seja igual a 1. Isso lembra muito a definição da derivada de uma função em um ponto. Nesse caso, podemos interpretar a expressão como a derivada de no ponto .
A derivada de em é:
Comparando com o nosso limite, vemos que:

Passo 4

Vamos primeiro encontrar . Sabemos que e que esse valor menos 2 está no numerador do limite. Para que o limite faça sentido e a expressão não fique indefinida, precisamos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para :

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos calcular a derivada . A função é . Usando a regra da cadeia para derivadas:
Para encontrar , substituímos :
Sabemos que , então:

Resposta

Os números são e .

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Calcule os limites abaixo: ;
Calcule os limites abaixo:
Para todo número real , indiquemos com o maior inteiro menor ou igual a . Mostre que se e são números positivos então
Calcule os limites abaixo: ;