Encontre números a e b tais que lim x 0 raiza x+b-2x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os números e que satisfazem o limite . Esse problema envolve conceitos de limites e derivadas, que são ferramentas importantes no cálculo para entender como funções se comportam perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro da raiz quando a cdot 0 + b = b se aproxima de 0. Se substituirmos na expressão , teremos:
E sabemos que a raiz desse valor menos 2 está no numerador. Para que a expressão dentro da raiz não dê problemas (tipo raiz de número negativo), precisamos que seja definida e facilite o cálculo do limite.

Passo 3

Agora, observando o limite f'(0) = limx 0 f(x) - f(0)x , queremos que ele seja igual a 1. Isso lembra muito a definição da derivada de uma função em um ponto. Nesse caso, podemos interpretar a expressão como a derivada de f'(0) = 1 no ponto .
A derivada de em é:
Comparando com o nosso limite, vemos que:

Passo 4

Vamos primeiro encontrar raizb - 2 = 0 Rightarrow raizb = 2 . Sabemos que b = 2^2 = 4 e que esse valor menos 2 está no numerador do limite. Para que o limite faça sentido e a expressão não fique indefinida, precisamos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para :

Passo 5

Agora que sabemos que f'(x) = a2 raiza x + 4 , vamos calcular a derivada f'(0) = a2 raiz4 = a4 . A função é a4 = 1 Rightarrow a = 4 . Usando a regra da cadeia para derivadas:
Para encontrar , substituímos :
Sabemos que , então:

Resposta

Os números são e .

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