Encontre números
e
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os números
e
que satisfazem o limite
. Esse problema envolve conceitos de limites e derivadas, que são ferramentas importantes no cálculo para entender como funções se comportam perto de certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro da raiz quando
se aproxima de 0. Se substituirmos
na expressão
, teremos:
E sabemos que a raiz desse valor menos 2 está no numerador. Para que a expressão dentro da raiz não dê problemas (tipo raiz de número negativo), precisamos que
seja definida e facilite o cálculo do limite.
Passo 3
Agora, observando o limite
, queremos que ele seja igual a 1. Isso lembra muito a definição da derivada de uma função em um ponto. Nesse caso, podemos interpretar a expressão como a derivada de
no ponto
.
A derivada de
em
é:
Comparando com o nosso limite, vemos que:
Passo 4
Vamos primeiro encontrar
. Sabemos que
e que esse valor menos 2 está no numerador do limite. Para que o limite faça sentido e a expressão não fique indefinida, precisamos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos calcular a derivada
. A função é
. Usando a regra da cadeia para derivadas:
Para encontrar
, substituímos
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Os números são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
;
Calcule os limites abaixo:
Para todo número real
, indiquemos com
o maior inteiro menor ou igual a
. Mostre que se
e
são números positivos então
Calcule os limites abaixo:
;