Calcule os limites abaixo.
pt.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a menos infinito da expressão
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites no infinito e funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e manipulação algébrica de expressões com radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Quando
tende a menos infinito, o termo
domina os outros termos, porque cresce muito mais rápido. Então, a raiz de
é aproximadamente
. Como
está indo para menos infinito (ou seja, é negativo),
.
Então, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Mas essa é uma aproximação muito crua. Para termos mais precisão, vamos refinar essa aproximação.
Passo 4
Vamos fatorar
da expressão dentro da raiz:
Como
tende a menos infinito,
. Então:
Passo 5
Substituímos de volta na expressão original:
Passo 6
Agora, vamos expandir a raiz usando uma aproximação para quando
é muito grande (em valor absoluto):
Essa é uma expansão de Taylor para
onde
é pequeno.
Passo 7
Substituímos essa aproximação na expressão:
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Agora, conforme
tende a menos infinito,
tende a zero.
Passo 9
Portanto, o limite é:
Resposta
O limite vale
.
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, Náo esqueça de verificar a convergência ou divergencia nos extremos do intervalo encontrado.
Dica: .
Dica:
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f)
f)
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. Determine as assíntotas horizontais de
.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
k)
k)