Calcule os limites abaixo. pt.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites no infinito e funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e manipulação algébrica de expressões com radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Quando tende a menos infinito, o termo domina os outros termos, porque cresce muito mais rápido. Então, a raiz de é aproximadamente . Como está indo para menos infinito (ou seja, é negativo), .
Então, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Mas essa é uma aproximação muito crua. Para termos mais precisão, vamos refinar essa aproximação.

Passo 4

Vamos fatorar da expressão dentro da raiz:
Como tende a menos infinito, . Então:

Passo 5

Substituímos de volta na expressão original:

Passo 6

Agora, vamos expandir a raiz usando uma aproximação para quando é muito grande (em valor absoluto):
Essa é uma expansão de Taylor para onde é pequeno.

Passo 7

Substituímos essa aproximação na expressão:

Passo 8

Simplificamos a expressão:
Agora, conforme tende a menos infinito, tende a zero.

Passo 9

Portanto, o limite é:

Resposta

O limite vale .

Exercícios relacionados

Encontre o raio e o intervalo de convergencia da série , Náo esqueça de verificar a convergência ou divergencia nos extremos do intervalo encontrado.
Dica: .
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
f)
Considere a função . Determine as assíntotas horizontais de .
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
k)