Calcule os limites abaixo. (1,0 pt.) lim x -infty(raizx^2+5 x-1+x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites no infinito e funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e manipulação algébrica de expressões com radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: raizx^2 + 5x - 1 approx -x . Quando tende a menos infinito, o termo domina os outros termos, porque cresce muito mais rápido. Então, a raiz de é aproximadamente . Como está indo para menos infinito (ou seja, é negativo), .
Então, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
raizx^2 + 5x - 1 + x approx -x + x = 0
Mas essa é uma aproximação muito crua. Para termos mais precisão, vamos refinar essa aproximação.

Passo 4

Vamos fatorar raizx^2 + 5x - 1 = raizx^2(1 + 5x - 1x^2) = |x| raiz1 + 5x - 1x^2 da expressão dentro da raiz:
raizx^2 + 5x - 1 = -x raiz1 + 5x - 1x^2
Como tende a menos infinito, . Então:

Passo 5

Substituímos de volta na expressão original:
raizx^2 + 5x - 1 + x = -x raiz1 + 5x - 1x^2 + x = x (-raiz1 + 5x - 1x^2 + 1)

Passo 6

Agora, vamos expandir a raiz usando uma aproximação para quando raiz1 + 5x - 1x^2 approx 1 + 52x - 12x^2 é muito grande (em valor absoluto):
Essa é uma expansão de Taylor para onde é pequeno.

Passo 7

Substituímos essa aproximação na expressão:
x (-(1 + 52x - 12x^2) + 1) = x (-1 - 52x + 12x^2 + 1) = x (-52x + 12x^2)

Passo 8

Simplificamos a expressão:
x (-52x + 12x^2) = -52 + 12x
Agora, conforme tende a menos infinito, tende a zero.

Passo 9

Portanto, o limite é:
limx to -infty (raizx^2 + 5x - 1 + x) = -52

Resposta

O limite vale .

Exercícios relacionados