Encontre o raio e o intervalo de convergencia da série , Náo esqueça de verificar a convergência ou divergencia nos extremos do intervalo encontrado.
Dica: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Estamos lidando com séries de potências aqui, e para resolver isso, vamos usar o Testes de Convergência de Séries. Para isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão para descobrir o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para encontrar o raio de convergência. O teste diz que se o limite , então a série converge se , diverge se , e é inconclusiva se .
Aqui, . Então, vamos calcular :
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
Multiplicando todos os termos por 5:
Subtraindo 2 de todos os lados:
Então, o raio de convergência é 5 (já que a desigualdade era ) e o intervalo de convergência inicialmente é .
Passo 5
Agora, precisamos verificar a convergência nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é a série alternada da harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada.
Resposta
O raio de convergência é 5 e o intervalo de convergência é .