Encontre o raio e o intervalo de convergencia da série sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^nn 5^n, Náo esqueça de verificar a convergência ou divergencia nos extremos do intervalo encontrado.
Dica: n^1n=e^ln (n)n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^nn 5^n. Estamos lidando com séries de potências aqui, e para resolver isso, vamos usar o Testes de Convergência de Séries. Para isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão para descobrir o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para encontrar o raio de convergência. O teste diz que se o limite limn to infty | an+1an | = L, então a série converge se L < 1, diverge se L > 1, e é inconclusiva se L = 1.
Aqui, an = (-1)^n (x+2)^nn 5^n. Então, vamos calcular | an+1an |:
| an+1an | = | (-1)^n+1 (x+2)^n+1(n+1) 5^n+1 cdot n 5^n(-1)^n (x+2)^n | = | (x+2)5 cdot nn+1 |

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | (x+2)5 cdot nn+1 | = | (x+2)5 | cdot limn to infty nn+1 = | (x+2)5 | cdot 1 = | x+25 |
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| x+25 | < 1

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
| x+25 | < 1 implies -1 < x+25 < 1
Multiplicando todos os termos por 5:
-5 < x + 2 < 5
Subtraindo 2 de todos os lados:
-7 < x < 3
Então, o raio de convergência é 5 (já que a desigualdade era |x+2| < 5) e o intervalo de convergência inicialmente é (-7, 3).

Passo 5

Agora, precisamos verificar a convergência nos extremos do intervalo, ou seja, em x = -7 e x = 3.
Para x = -7:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (-1)^n (-7+2)^nn 5^n = sumn=1^infty (-1)^n (-5)^nn 5^n = sumn=1^infty (-1)^n (-1)^n 5^nn 5^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para x = 3:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (-1)^n (3+2)^nn 5^n = sumn=1^infty (-1)^n 5^nn 5^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada da harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

O raio de convergência é 5 e o intervalo de convergência é (-7, , 3].

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