Calcule os limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende ao infinito de três expressões:
Vamos precisar usar conceitos de crescimento de funções, limites de funções exponenciais, funções trigonométricas e operações com limites. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
.
Aqui temos uma função exponencial com decaimento (
) multiplicada por uma função linear (
). Geralmente, funções exponenciais decaem ou crescem mais rápido que funções polinomiais. Nesse caso,
decai muito rápido para zero, mesmo quando multiplicada por
.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular .
Sabemos que para valores de
próximos de zero, é aproximadamente igual a
(isso vem da série de Taylor). Então, quando
é muito grande,
é muito pequeno, e podemos dizer que:
Multiplicando por
:
Portanto:
Passo 4
Por último, vamos calcular
.
Podemos simplificar essa expressão fatorando o negativo no denominador:
Então, independentemente do valor de
, enquanto
, a expressão sempre vale
. Assim, o limite é:
Resposta
O limite é:
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Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
Calcule os limites:
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