Calcule os limites abaixo
lim t +infty(t e^-t, t sen(1t), t-11-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando lim t +infty(t e^-t, t sen(1t), t-11-t) tende ao infinito de três expressões:
Vamos precisar usar conceitos de crescimento de funções, limites de funções exponenciais, funções trigonométricas e operações com limites. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular limt to +infty t e^-t = 0 .
Aqui temos uma função exponencial com decaimento ( ) multiplicada por uma função linear ( ). Geralmente, funções exponenciais decaem ou crescem mais rápido que funções polinomiais. Nesse caso, decai muito rápido para zero, mesmo quando multiplicada por .
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular .
Sabemos que para valores de sen(1t) approx 1t próximos de zero, é aproximadamente igual a t cdot sen(1t) approx t cdot 1t = 1 (isso vem da série de Taylor). Então, quando limt to +infty t sen(1t) = 1 é muito grande, é muito pequeno, e podemos dizer que:
Multiplicando por :
Portanto:

Passo 4

Por último, vamos calcular t - 11 - t = t - 1- (t - 1) = -1 .
Podemos simplificar essa expressão fatorando o negativo no denominador:
limt to +infty t - 11 - t = -1
Então, independentemente do valor de , enquanto , a expressão sempre vale . Assim, o limite é:

Resposta

O limite é:
(0, 1, -1)

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