Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
r(t) = (cos(t), 1/t, e^t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, a gente precisa entender o que o exercício está pedindo. A questão é sobre determinar o domínio de uma função vetorial. O domínio é basicamente todos os valores de para os quais a função está definida. A função dada é:
Para descobrir o domínio, vamos verificar cada componente dessa função e ver onde elas estão bem definidas.

Passo 2

Vamos analisar cada parte da função vetorial:
  1. : O cosseno é uma função trigonométrica que está definida para todo número real. Não tem restrições aqui.
  2. : Essa fração só vai estar definida quando o denominador não for zero. Ou seja, .
  3. : A função exponencial está definida para todo número real também, sem restrições.

Passo 3

Agora, juntando tudo, o domínio da função vetorial será o conjunto de todos os valores de para os quais todas as componentes estão definidas simultaneamente.
  • :
  • :
  • :
A única restrição vem da segunda componente, que exige que não seja zero.

Resposta

O domínio da função vetorial é todos os números reais exceto . Em notação matemática:

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