Resolver as seguintes equações homogêneas y' = x^2 - x * y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou é uma equação diferencial ordinária do tipo homogênea: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais. Para resolver essa equação, vamos precisar usar métodos de resolução de equações lineares de primeira ordem, especificamente o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, a equação dada é:
Vamos reorganizar para se adequar à forma padrão:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela para simplificar:
A esquerda da equação agora representa a derivada do produto :

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

A integral pode ser resolvida usando integração por partes. Vamos escolher:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
A segunda integral não possui uma forma elementar, mas podemos expressá-la em termos da função erro ( ):

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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