Resolver as seguintes equações homogêneas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou é uma equação diferencial ordinária do tipo homogênea:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais. Para resolver essa equação, vamos precisar usar métodos de resolução de equações lineares de primeira ordem, especificamente o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, a equação dada é:
Vamos reorganizar para se adequar à forma padrão:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
para simplificar:
A esquerda da equação agora representa a derivada do produto
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
A integral
pode ser resolvida usando integração por partes. Vamos escolher:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
A segunda integral
não possui uma forma elementar, mas podemos expressá-la em termos da função erro (
):
Passo 7
Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Calcule os limites abaixo
Esboce a curva definida pela função vetorial
.
Calcule os seguintes limites: