Calcule os limites abaixo
lim t +infty(t+1t-1, t^3e^2 t,(1+1t)^t)

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício de limites onde precisamos calcular três expressões diferentes quando tende ao infinito. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre como avaliar limites de funções racionais, exponenciais e funções que envolvem potências. Para resolver isso, precisamos entender como cada tipo de função se comporta quando a variável cresce sem limites.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
limt to +infty t + 1t - 1
Aqui, temos uma função racional onde o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são de primeiro grau). Quando isso acontece, o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Então, observamos que o coeficiente de no numerador é 1 e no denominador também é 1.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite:
limt to +infty t^3e^2t
Nesta expressão, temos um polinômio de grau 3 no numerador e uma função exponencial no denominador. As funções exponenciais crescem muito mais rápido do que qualquer polinômio quando a variável tende ao infinito. Portanto, o limite dessa fração será 0, já que o denominador domina o crescimento.

Passo 4

Por último, temos o terceiro limite:
limt to +infty (1 + 1t)^t
Essa é uma forma clássica que se aproxima do número limt to +infty (1 + 1t)^t = e quando tende ao infinito. A expressão é uma definição fundamental para calcular , e sabemos que:

Resposta

(1, 0, e)

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