Calcule os limites abaixo
lim t 1(t^2-tt-1, raizt+8, sen(pi t)ln (t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular os limites de três funções diferentes quando se aproxima de 1. O assunto aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar usar técnicas básicas de limites, simplificação de expressões, propriedades de funções contínuas e, se necessário, a regra de L’Hôpital para resolver indeterminações.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite: 1^2 - 11 - 1 = 00 .
Primeiro, substituímos t^2 - t = t(t - 1) diretamente na expressão:
t(t - 1)t - 1
Isso resulta em uma indeterminação t , então precisamos simplificar a expressão.
Observe que o numerador limt 1 t = 1 pode ser fatorado:
Agora, a expressão fica:
Podemos cancelar no numerador e denominador:
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite: raiz1 + 8 = raiz9 = 3 .
Essa função é uma função contínua em todo o seu domínio, o que significa que podemos simplesmente substituir na expressão:

Passo 4

Por último, vamos resolver o terceiro limite: sin(pi cdot 1)ln(1) = 00 .
Primeiro, substituímos ddt [sin(pi t)] = pi cos(pi t) na expressão:
ddt [ln(t)] = 1t
Também temos uma indeterminação limt 1 pi cos(pi t)1t = limt 1 pi t cos(pi t) , então precisamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Derivando o numerador:
pi cdot 1 cdot cos(pi cdot 1) = pi cdot (-1) = -pi
Derivando o denominador:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Substituindo :

Resposta

O limite solicitado é .

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