Calcule os limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular os limites de três funções diferentes quando
se aproxima de 1. O assunto aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar usar técnicas básicas de limites, simplificação de expressões, propriedades de funções contínuas e, se necessário, a regra de L’Hôpital para resolver indeterminações.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
.
Primeiro, substituímos
diretamente na expressão:
Isso resulta em uma indeterminação
, então precisamos simplificar a expressão.
Observe que o numerador
pode ser fatorado:
Agora, a expressão fica:
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
.
Essa função é uma função contínua em todo o seu domínio, o que significa que podemos simplesmente substituir
na expressão:
Passo 4
Por último, vamos resolver o terceiro limite:
.
Primeiro, substituímos
na expressão:
Também temos uma indeterminação
, então precisamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Substituindo
:
Resposta
O limite solicitado é
.
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