Calcule os limites:
lim x +infty x-raiz3 x^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma função com raiz quadrada. O enunciado pede para calcular . Para isso, vamos precisar entender como funções polinomiais e radicais se comportam quando cresce para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão que queremos calcular:
x - raiz3x^2 + 2
Aqui temos uma diferença entre uma função linear e uma função que envolve uma raiz quadrada de um polinômio de segundo grau.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo tudo por xx - raiz3x^2 + 2x = 1 - raiz3x^2 + 2x^2 , que é a maior potência de 1 - raiz3 + 2x^2 que aparece na expressão:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando 1 - raiz3 vai para :
  • tende a 0, porque o denominador cresce muito.
  • Então, dentro da raiz, temos .
  • Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Sabemos que 1 - raiz3 ≈ 1 - 1,732 = -0,732 é aproximadamente 1,732, então:
x times (-0,732) = -0,732x
Multiplicando de volta pelo que dividimos inicialmente, temos:
Como tende ao infinito positivo, tende a .

Resposta

limx +infty ( x - raiz3x^2 + 2 ) = -infty

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