Calcule os limites abaixo: lim r 1 r^2-r2 r^2+5 r-7

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com limites de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar verificar como o numerador e o denominador se comportam quando se aproxima de 1 e simplificar a expressão para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
  • Numerador:
  • Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a fração fatorando o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo comum.
Fatorando o numerador r^2 - r = r(r - 1) :
2 r^2 + 5 r - 7 = 2 r^2 + 7 r - 2 r - 7 = r(2 r + 7) - 1(2 r + 7) = (r - 1)(2 r + 7)
Fatorando o denominador :
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão 5. Esses números são 7 e -2.
Então:

Passo 4

Agora, substituímos os fatores na expressão original:
r(r - 1)(r - 1)(2 r + 7)
Podemos cancelar o termo comum r2 r + 7 :

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo 12(1) + 7 = 12 + 7 = 19 :

Resposta

O limite é .

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