Calcule os limites abaixo: lim x 1 raizx^2+9 x-raizx+9x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1 raizx^2+9 x-raizx+9x-1
Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, especialmente um caso que resulta em uma forma indeterminada 00. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente:
raiz1^2 + 9 cdot 1 - raiz1 + 91 - 1 = raiz10 - raiz100 = 00
Essa é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos de outra estratégia, como racionalizar o numerador.

Passo 3

Para eliminar as raízes no numerador, vamos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador:
raizx^2+9 x-raizx+9x-1 cdot raizx^2+9 x+raizx+9raizx^2+9 x+raizx+9
Isso ajuda a simplificar as raízes utilizando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

Passo 4

Aplicando a identidade, o numerador fica:
(raizx^2+9 x)^2 - (raizx+9)^2 = x^2 + 9x - (x + 9) = x^2 + 8x - 9
Então, a expressão agora é:
x^2 + 8x - 9(x - 1)(raizx^2+9 x + raizx+9)

Passo 5

Vamos fatorar o polinômio no numerador x^2 + 8x - 9. Procuramos dois números que multiplicam para -9 e somam para 8. Esses números são 9 e -1:
x^2 + 8x - 9 = (x + 9)(x - 1)
Substituindo na expressão:
(x + 9)(x - 1)(x - 1)(raizx^2+9 x + raizx+9)

Passo 6

Agora, podemos cancelar o termo (x - 1) que está no numerador e no denominador:
x + 9raizx^2+9 x + raizx+9
Isso simplifica bastante a expressão e facilita o cálculo do limite.

Passo 7

Finalmente, substituímos x = 1 na expressão simplificada:
1 + 9raiz1^2+9 cdot 1 + raiz1 + 9 = 10raiz10 + raiz10 = 102raiz10 = 5raiz10
Para deixar a resposta mais “limpa”, podemos racionalizar o denominador:
5raiz10 cdot raiz10raiz10 = 5raiz1010 = raiz102

Resposta

raiz102

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