Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de uma função racional quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função:
Aqui, temos um polinômio no numerador e no denominador. Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Antes de tentar substituir diretamente, vamos verificar se a substituição resulta em uma forma indeterminada. Substituindo:
Como obtemos , que é uma forma indeterminada, precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador.
No numerador:
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 5

No denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 6

Agora, substituímos as fatorações na função original:
Podemos ver que o termo está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que .

Passo 7

Após cancelar , a função simplifica para:
Agora, podemos substituir nessa expressão.

Passo 8

Substituindo:

Resposta

O limite é .

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Mostrar que os limites seguintes não existem:
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: