Calcule os limites abaixo: lim x -3 x^2-x-12x^2+4 x+3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de uma função racional quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função:
x^2 - x -12x^2 + 4x + 3
Aqui, temos um polinômio no numerador e no denominador. Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Antes de tentar substituir Numerador: (-3)^2 - (-3) -12 = 9 + 3 -12 = 0 diretamente, vamos verificar se a substituição resulta em uma forma indeterminada. Substituindo:
Denominador: (-3)^2 + 4(-3) +3 = 9 -12 +3 = 0
Como obtemos , que é uma forma indeterminada, precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador.
No numerador: x^2 - x -12 = (x -4)(x +3)
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 5

No denominador: x^2 +4x +3 = (x +1)(x +3)
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 6

Agora, substituímos as fatorações na função original:
(x -4)(x +3)(x +1)(x +3)
Podemos ver que o termo está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que .

Passo 7

Após cancelar x -4x +1 , a função simplifica para:
Agora, podemos substituir nessa expressão.

Passo 8

Substituindo:
-3 -4-3 +1 = -7-2 = 72

Resposta

O limite é .

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