Calcule os limites abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite da função . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções que envolvem funções trigonométricas e polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como comportar a função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
E no denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos indica que precisamos simplificar ou usar uma técnica como a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator com o numerador. A expressão no denominador é um polinômio de segundo grau:
Vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, podemos fatorar assim:
Passo 4
Agora, substituímos a fatoração no denominador da nossa função original:
Observamos que o fator
está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse termo, mas precisamos ter cuidado porque
(já que o limite está se aproximando de
, mas não exatamente nele).
Passo 5
Após cancelar o fator comum, a expressão fica:
Sabemos que , onde
. Como
,
. Então, podemos aplicar essa propriedade.
Passo 6
Aplicando a propriedade mencionada:
E já temos:
Resposta
O limite solicitado é
.
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