Calcule os limites abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções que envolvem funções trigonométricas e polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como comportar a função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
E no denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos indica que precisamos simplificar ou usar uma técnica como a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator com o numerador. A expressão no denominador é um polinômio de segundo grau:
Vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, podemos fatorar assim:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração no denominador da nossa função original:
Observamos que o fator está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse termo, mas precisamos ter cuidado porque (já que o limite está se aproximando de , mas não exatamente nele).

Passo 5

Após cancelar o fator comum, a expressão fica:
Sabemos que , onde . Como , . Então, podemos aplicar essa propriedade.

Passo 6

Aplicando a propriedade mencionada:
E já temos:

Resposta

O limite solicitado é .

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