Calcule os limites abaixo. (0,5 pt) lim x -5 sen(x+5)x^2+2 x-15

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções que envolvem funções trigonométricas e polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como comportar a função quando limx to -5 sen(x+5)x^2+2x-15 se aproxima de x.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -5 diretamente na expressão para ver o que acontece:
E no denominador:
sen(-5 + 5) = sen(0) = 0
Então, temos uma forma indeterminada (-5)^2 + 2(-5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0 , o que nos indica que precisamos simplificar ou usar uma técnica como a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator com o numerador. A expressão no denominador é um polinômio de segundo grau:
x^2 + 2x - 15
Vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão -15 e somados dão 2. Esses números são 5 e -3. Então, podemos fatorar assim:
x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração no denominador da nossa função original:
Observamos que o fator sen(x+5)(x + 5)(x - 3) está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse termo, mas precisamos ter cuidado porque (x + 5) (já que o limite está se aproximando de x neq -5, mas não exatamente nele).

Passo 5

Após cancelar o fator comum, a expressão fica:
Sabemos que , onde sen(x+5)(x + 5)(x - 3) = sen(x+5)x + 5 cdot 1x - 3 . Como limu to 0 sen uu = 1, u = x + 5. Então, podemos aplicar essa propriedade.

Passo 6

Aplicando a propriedade mencionada:
E já temos:
limx to -5 sen(x+5)x + 5 = 1

Resposta

O limite solicitado é -dfrac18.

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