Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
b)
b)
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo
é:
Para aplicar o teste da razão, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular
| an+1an | = | (-3)^n+1(x-1)^n+1raizn+2 cdot raizn+1(-3)^n(x-1)^n | = 3 cdot |x - 1| cdot raizn+1n+2 :
Quando
cresce bastante,
se aproxima de 1. Então, o limite fica:
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Isso nos dá o raio de convergência
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que:
Precisamos verificar os extremos
e
.
Passo 6
Para
sumn=1^infty (-3)^n(23-1)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-3)^n(-13)^nraizn+1 = sumn=1^infty 1raizn+1 :
Essa série é divergente, pois é uma série
com
.
Passo 7
Para
sumn=1^infty (-3)^n(43-1)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-3)^n(13)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-1)^nraizn+1 :
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, como o termo geral
é decrescente e tende a zero, a série converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.