Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
b) sumn=1^infty (-3)^n(x-1)^nraizn+1

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-3)^n(x-1)^nraizn+1
Vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo an = (-3)^n(x-1)^nraizn+1 é:
Para aplicar o teste da razão, calculamos o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular | an+1an | = | (-3)^n+1(x-1)^n+1raizn+2 cdot raizn+1(-3)^n(x-1)^n | = 3 cdot |x - 1| cdot raizn+1n+2 :
limn to infty 3 cdot |x - 1| cdot 1 = 3|x - 1|
Quando cresce bastante, se aproxima de 1. Então, o limite fica:

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
3|x - 1| < 1 Rightarrow |x - 1| < 13
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que:
|x - 1| < 13 Rightarrow 1 - 13 < x < 1 + 13 Rightarrow 23 < x < 43
Precisamos verificar os extremos e .

Passo 6

Para sumn=1^infty (-3)^n(23-1)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-3)^n(-13)^nraizn+1 = sumn=1^infty 1raizn+1 :
Essa série é divergente, pois é uma série com .

Passo 7

Para sumn=1^infty (-3)^n(43-1)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-3)^n(13)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-1)^nraizn+1 :
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, como o termo geral é decrescente e tende a zero, a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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