Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
b)

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo é:
Para aplicar o teste da razão, calculamos o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular :
Quando cresce bastante, se aproxima de 1. Então, o limite fica:

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que:
Precisamos verificar os extremos e .

Passo 6

Para :
Essa série é divergente, pois é uma série com .

Passo 7

Para :
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, como o termo geral é decrescente e tende a zero, a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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