Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
b)
b)
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo
é:
Para aplicar o teste da razão, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular
:
Quando
cresce bastante,
se aproxima de 1. Então, o limite fica:
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Isso nos dá o raio de convergência
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que:
Precisamos verificar os extremos
e
.
Passo 6
Para
:
Essa série é divergente, pois é uma série
com
.
Passo 7
Para
:
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, como o termo geral
é decrescente e tende a zero, a série converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
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dada por
. Encontre:
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