Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
f) , dica

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a função como uma série de potências usando a série binomial e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a dica que sugere reescrever como . Isso vai nos ajudar a expandir a função em torno de .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na função pela expressão :
Isso simplifica a nossa função para uma forma que podemos trabalhar melhor com a série binomial.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Esse formato é ideal para aplicar a expansão da série binomial, que trabalha com potências de , onde é uma expressão envolvendo .

Passo 4

Vamos relembrar a fórmula da série binomial:
Aqui, é o expoente (no nosso caso, ) e é a expressão dentro dos parênteses (no nosso caso, ). A condição para essa série convergir é que .

Passo 5

Aplicando a série binomial à nossa função, temos:
Vamos calcular os primeiros termos dessa série para visualizar melhor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a série fica:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência , lembramos que a série binomial converge quando . No nosso caso, , então a condição de convergência é:
Isso significa que o raio de convergência é .

Resposta

A função pode ser escrita como uma série de potências centrada em usando a série binomial:
O raio de convergência dessa série é , ou seja, a série converge para valores de no intervalo .

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