Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
f)
, dica
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a função
como uma série de potências usando a série binomial e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a dica que sugere reescrever
como
. Isso vai nos ajudar a expandir a função em torno de
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na função
pela expressão
:
Isso simplifica a nossa função para uma forma que podemos trabalhar melhor com a série binomial.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Esse formato é ideal para aplicar a expansão da série binomial, que trabalha com potências de
, onde
é uma expressão envolvendo
.
Passo 4
Vamos relembrar a fórmula da série binomial:
Aqui,
é o expoente (no nosso caso,
) e
é a expressão dentro dos parênteses (no nosso caso,
). A condição para essa série convergir é que
.
Passo 5
Aplicando a série binomial à nossa função, temos:
Vamos calcular os primeiros termos dessa série para visualizar melhor:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a série fica:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência
, lembramos que a série binomial converge quando
. No nosso caso,
, então a condição de convergência é:
Isso significa que o raio de convergência é
.
Resposta
A função
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
usando a série binomial:
O raio de convergência dessa série é
, ou seja, a série converge para valores de
no intervalo
.