Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da comparação e o teste da convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
Como oscila entre -1 e 1, o numerador estará entre 2 e 4. Portanto, temos:
Então, podemos simplificar a comparação:
Para grandes valores de , é aproximadamente , então:

Passo 3

Agora, comparamos a série dada com uma série p, , onde sabemos que a série converge se .
Aqui, temos , que é maior que 1. Portanto, a série de comparação converge.

Passo 4

Como está entre e , e a série converge, pelo teste da comparação, a série também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Calcule os limites abaixo. pt.)
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