Calcule os limites abaixo: lim t 3 t+3t^2-9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra, como fatoração e simplificação de expressões.

Passo 2

Vamos começar substituindo o valor 3 + 33^2 - 9 = 69 - 9 = 60 diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que estamos dividindo por zero, o que não é definido matematicamente. Isso nos indica que precisamos manipular a expressão para entender melhor o comportamento do limite.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador t^2 - 9 = (t - 3)(t + 3) . Lembrando que t + 3(t - 3)(t + 3) é uma diferença de quadrados, podemos escrever:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, percebemos que o termo 1t - 3 aparece no numerador e no denominador. Podemos simplificar cancelando esse termo:
limt 3 1t - 3
Então, o limite que precisamos calcular agora é:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa nova express��o conforme se aproxima de 3:
  • Se se aproxima de 3 por valores maiores que 3 (direita), é um número positivo muito pequeno, então cresce para .
  • Se se aproxima de 3 por valores menores que 3 (esquerda), é um número negativo muito pequeno, então tende para .

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes (um tende para e o outro para ), o limite geral não existe. Isso significa que a função se comporta de maneira diferente dependendo de como se aproxima de 3.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais tendem para e .

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