Na função abaixo determine seu domínio e imagem e trace um esboço do gráfico. Encontre os pontos onde é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir três coisas: o domínio (quais valores de a função aceita), a imagem (quais valores de a função produz) e traçar um esboço do gráfico. Além disso, vamos ver onde a função é contínua. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes, domínio, imagem e continuidade. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função dada:
Vemos que a função está definida para todo real, sem restrições. Então, o domínio é:
íú

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de . Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
  1. Para :
    Como pode ser qualquer número menor ou igual a -1, essa expressão linear pode gerar valores que vão de menos infinito até:
    Então, essa parte da função produz .
  2. Para :
    Aqui, está entre -1 e 1. Calculando os extremos:
    Portanto, essa parte gera valores entre -3 e 3, ou seja, .
  3. Para :
    pode ser qualquer número maior ou igual a 1, então:
    E como aumenta, também aumenta sem limites, então .
Juntando todas as partes, a imagem da função é:

Passo 4

Vamos agora traçar um esboço do gráfico da função. Para isso, desenharemos cada trecho da função de acordo com seu intervalo.
  1. Para :
    Essa é uma reta com inclinação 2 e intercepto em 1. Passa pelo ponto (-1, -1).
  2. Para :
    Outra reta, desta vez com inclinação 3 e passa pela origem. Nos pontos x = -1 e x = 1, temos f(-1) = -3 e f(1) = 3, mas esses pontos estão excluídos neste intervalo.
  3. Para :
    Mais uma reta com inclinação 2 e intercepto em -1. Passa pelo ponto (1, 1).
Ao juntar esses trechos, teremos um gráfico que une essas retas nos pontos de transição. Vou descrever:
  • De até , a reta sobe até (-1, -1).
  • De até , a reta tem inclinação maior, indo de (-1, -3) até pouco antes de (1, 3).
  • A partir de , a reta volta a ter inclinação 2, começando em (1, 1) e subindo indefinidamente.

Passo 5

Por último, vamos identificar os pontos onde a função é contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “quebras” ou “saltos” no gráfico nesse ponto.
Vamos verificar as transições nos pontos e .
  1. Em :
    • Limite pela esquerda:
    • Limite pela direita:
    Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função tem um salto em e, portanto, não é contínua nesse ponto.
  2. Em :
    • Limite pela esquerda:
    • Limite pela direita:
    Aqui também, os limites são diferentes ( ), então há um salto em e a função não é contínua nesse ponto.
Fora esses pontos, cada trecho da função é uma reta contínua. Então, a função é contínua em todo lugar, exceto em e .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, a imagem é , o gráfico é composto por três retas conectadas com saltos em e , e a função é contínua em todo lugar, exceto nos pontos e .

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