Na função abaixo determine seu domínio e imagem e trace um esboço do gráfico. Encontre os pontos onde é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir três coisas: o domínio (quais valores de a função aceita), a imagem (quais valores de a função produz) e traçar um esboço do gráfico. Além disso, vamos ver onde a função é contínua. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes, domínio, imagem e continuidade. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função dada:
Vemos que a função está definida para todo real, sem restrições. Então, o domínio é:
íú
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de . Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
Para :
Como pode ser qualquer número menor ou igual a -1, essa expressão linear pode gerar valores que vão de menos infinito até:
Então, essa parte da função produz .
Para :
Aqui, está entre -1 e 1. Calculando os extremos:
Portanto, essa parte gera valores entre -3 e 3, ou seja, .
Para :
pode ser qualquer número maior ou igual a 1, então:
E como aumenta, também aumenta sem limites, então .
Juntando todas as partes, a imagem da função é:
Passo 4
Vamos agora traçar um esboço do gráfico da função. Para isso, desenharemos cada trecho da função de acordo com seu intervalo.
Para :
Essa é uma reta com inclinação 2 e intercepto em 1. Passa pelo ponto (-1, -1).
Para :
Outra reta, desta vez com inclinação 3 e passa pela origem. Nos pontos x = -1 e x = 1, temos f(-1) = -3 e f(1) = 3, mas esses pontos estão excluídos neste intervalo.
Para :
Mais uma reta com inclinação 2 e intercepto em -1. Passa pelo ponto (1, 1).
Ao juntar esses trechos, teremos um gráfico que une essas retas nos pontos de transição. Vou descrever:
De até , a reta sobe até (-1, -1).
De até , a reta tem inclinação maior, indo de (-1, -3) até pouco antes de (1, 3).
A partir de , a reta volta a ter inclinação 2, começando em (1, 1) e subindo indefinidamente.
Passo 5
Por último, vamos identificar os pontos onde a função é contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “quebras” ou “saltos” no gráfico nesse ponto.
Vamos verificar as transições nos pontos e .
Em :
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (), a função tem um salto em e, portanto, não é contínua nesse ponto.
Em :
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Aqui também, os limites são diferentes (), então há um salto em e a função não é contínua nesse ponto.
Fora esses pontos, cada trecho da função é uma reta contínua. Então, a função é contínua em todo lugar, exceto em e .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais, a imagem é , o gráfico é composto por três retas conectadas com saltos em e , e a função é contínua em todo lugar, exceto nos pontos e .