Calcule os limites abaixo:
lim x -1+(3 x^2-41-x^2)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites, um conceito fundamental no Cálculo. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de pela direita, ou seja, valores de um pouco maiores que .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que o denominador 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) pode ser fatorado:
lim x -1^+ 3 x^2 - 4(1 - x)(1 + x)
Então, a expressão do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando 3(-1)^2 - 4 = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1 se aproxima de (1 - (-1))(1 + (-1)) = (1 + 1)(1 - 1) = 2 times 0 = 0 pela direita.
Numerador:
Substituindo :
Portanto, conforme se aproxima de , o numerador se aproxima de .
Denominador:
Substituindo :
Mas precisamos entender como o denominador se comporta quando está próximo de pela direita (valores um pouco maiores que ).
  • : Se está um pouco maior que , então é aproximadamente .
  • : Se está um pouco maior que , então é um número positivo que se aproxima de .
Portanto, o denominador está se aproximando de por valores positivos.

Passo 4

Com essas observações, podemos concluir o seguinte sobre o limite:
  • Numerador -10^+ = -infty
  • Denominador (zero positivo)
Então, a expressão do limite se comporta como:
Isso significa que a função tende para menos infinito conforme se aproxima de pela direita.

Resposta

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